Inicio | Índice | Librero | | Comentarios | Libros | E-Libros | Eventos | Cursos | Voces |
Directorio
ENSAYO
 
 

 

 

LA ESFERA PLANA *

WAZZALCORA

 

 

ARIANNA BORRELLI (BERLIN, ROMA)



 

 

 

 


 



La esfera plana también se puede producir y manipular como la sombra que proyecta un modelo esférico tridimensional del cosmos sobre el techo de una habitación cuando se ilumina desde su Polo Sur”.

 

Ariana Borrelli

 

 

 

“Wazzalcora es similar a la mente divina; su nombre en latín significa ‘esfera plana', pero también se conoce como el ‘astrolapsus' de Ptolomeo. Wazzalcora incluye una descripción de la forma completa de la esfera celestial, una forma determinada por la racionalidad natural de conformidad con la redondez del cielo. En wazzalcora, todas las reglas de las configuraciones celestiales se representan con racionalidad arquitectónica”1.

Este pasaje se tomó de uno de los diversos textos cortos agrupados en más de treinta manuscritos latinos, de los cuales, el más antiguo data de principios del siglo once.2 Los autores de los textos siguen siendo anónimos, en su mayoría, pero el hecho de que supieran leer y escribir indica, casi sin lugar a dudas, que se trataba de clérigos.3

Los textos individuales tratan sobre temas muy diferentes, desde cosmología hasta topografía, pero tienen un punto de interés común, al que me debo dirigir como “la esfera plana”. Esta expresión es la traducción literal de “plana espera”, uno de los tres términos latinos utilizados como equivalentes en el pasaje citado en los párrafos anteriores.

Los otros dos son “wazzalcora” y “astrolapsus”. Wazzalcora es la transcripción latina de la expresión árabe “basīt al-kura”, que también significa algo como “esfera aplanada”4. Sin embargo, “Astrolapsus” y su forma alternativa “astrolabium” normalmente se traducen al inglés como “astrolabe” (astrolabio), un instrumento astronómico sobre el que hay más que decir ahora.5 Muchos textos en las colecciones de manuscritos describen la estructura y el uso del astrolabio, pero, como argumentaré más adelante, la esfera plana y el astrolabio no se deben de entender como dos elementos idénticos.

Regresando a la cita inicial: ¿Qué es la esfera plana y por qué podría considerarse similar a la mente divina? Diré que, para los eruditos del latín medieval, la esfera plana era tanto un material como una herramienta abstracta. Era un instrumento para las manos, como un compás y uno para la mente, como las reglas de la lógica. El acto de construir y manipular una esfera plana en forma manual y mental significaba tomar la racionalidad arquitectónica que estructura al mundo.

Habiendo presentado a la esfera plana con un pasaje que elogiaba sus aspectos más filosóficos, ahora pasaré a un texto que se enfoca en su lado práctico. Tanto en forma como en contenido, este segundo texto difiere mucho del primero, ya que parece un tipo de “receta” para ejecutar un procedimiento topográfico. Además de compartir la misma tradición del manuscrito, ambos pasajes utilizan la palabra “astrolapsus”, que por lo pronto traduciré como “astrolabio”. En la usanza moderna, el astrolabio es un instrumento pequeño, plano y circular, normalmente hecho de metal.6 La Figura 1 muestra un astrolabio islámico de España del siglo once y la Figura 2 muestra algunos componentes individuales del mismo artefacto.7 En aplicaciones prácticas, el astrolabio tiene dos funciones:

(a) es una carta astral movible y (b) una herramienta para medir la altitud de los cuerpos celestiales sobre el horizonte. Cuando se combinan estas dos funciones, es posible utilizar el instrumento para determinar la hora del día o la noche en términos de las veinticuatro horas equinocciales que utilizan los astrónomos desde la antigüedad y que se siguen usando actualmente en todas partes, para medir el tiempo.




Figura 1: Astrolabio islámico fabricado en Toledo en el año 420 H (1029/1030 A.D.), actualmente en el Departamento Oriental de Staatsbibliothek zu Berlin. 8


Figura 2: Dibujos de los componentes del astrolabio islámico mostrado en la Figura 1, fabricado en Toledo (420 H = 1029/1030 A.D.). En su forma más simple, un astrolabio está formado por dos placas circulares colocadas una sobre la otra. La placa superior (derecha, arriba) está perforada y representa en dos dimensiones la esfera celestial, con punteros indicando las posiciones de las estrellas (indicados en el dibujo con números). La placa inferior (derecha, abajo) es una representación bidimensional de la línea del horizonte para una latitud seleccionada, aquí 38°30' (Córdoba). Arriba de la línea del horizonte, los círculos de altitud y azimut forman una especie de telaraña que se utiliza para cálculos astronómicos; las líneas grabadas bajo el horizonte son para determinar las horas canónicas. Al sobreponer las dos placas y girar la superior con respecto a la inferior, se ve que las estrellas se elevan y se plasman en el horizonte. Los astrolabios normalmente tenían más de una placa de horizonte, sirviendo así a más de una latitud.



 

El dibujo de la derecha muestra la barra fijada al centro de la parte posterior del astrolabio. Cuando el astrolabio cuelga verticalmente y la barra apunta a un cuerpo celestial, su distancia angular del horizonte (es decir, su altitud) se puede leer de una sola vez en una escala sobre el aro del instrumento.9

Es en su función de dispositivo de medición de tiempo que el astrolabio se discute en la siguiente sección. Sin embargo, como veremos, algunos usos que son posibles en principio, no siempre tienen sentido en la práctica
.


La Plomada (o pesa) y el Astrolabio



Alain Haire y Catherine Jacquemard estudiaron el corto texto “Sondeando la profundidad del mar o de un río” en cuanto a su forma, contenido y tradición manuscrita; los resultados de su investigación son la base de mi argumento.10 Este texto describe cómo construir y utilizar una pesa cargada para sondear la profundidad de lagos, ríos o el mar. El dispositivo está formado por dos partes: una esfera metálica ligera y hueca con un aro pegado a ella y una pesa de fierro plana y pesada con un gancho en un extremo que se puede fijar al aro de la esfera y en el otro extremo, una pieza final larga que termina en una cabeza pesada y gruesa.

El dispositivo funciona de la siguiente manera. El gancho de la pesa se fija al aro de la esfera metálica y después todo el conjunto se mete al agua.

La esfera, que está llena de aire y por lo tanto, es más ligera que el agua, es arrastrada hacia abajo por la pesa de fierro unida al aro. Debido al diseño de la pesa de fierro, la primera de sus partes en tocar el fondo es el extremo grueso y después la pesa de fierro la cual se inclina hacia un lado. Este movimiento permite que el gancho de la pesa se separe del aro de la esfera, que se libera después y flota de vuelta a la superficie. Como Haire y Jacquemard demostraron de manera experimental, el dispositivo de verdad funciona en cuerpos de agua relativamente sin corriente. Con este procedimiento en mente, leamos una parte del texto: “Ahora coloque [la pesa cargada] sobre el cuerpo de agua cuya profundidad desea conocer y, exactamente en el momento en que la pesa comience a hundirse, tome la altitud del Sol con el astrolabio [‘en astrolapsu'] y vea qué hora es. Permita que la pesa de fierro con el globo se hunda en el agua hasta que llegue al fondo, en donde [el globo] se liberará y subirá nuevamente flotando. En cuanto regrese a usted, vuelva a tomar la hora con el astrolabio [‘por astrolapsus'] y así observará cuánto tiempo pasa desde el comienzo de la inmersión hasta el regreso: ya sea una hora, dos o el tiempo que sea. Después de esto, tome una vara o algún otro dispositivo de medición de longitud y sumérjalo en el mismo lugar; de esta manera puede medir la profundidad del agua en pies, codos o por la altura de una persona, al igual que las horas que necesita [la pesa] para bajar hasta el fondo y volver a la superficie”.11

Al medir el tiempo de inmersión y emersión de la plomada o pesa, es posible inferir la profundidad del agua a partir del tiempo transcurrido, asumiendo velocidades constantes e independientes de inmersión y emersión.12 El texto continúa para afirmar que el procedimiento se debe de realizar primero en aguas poco profundas –digamos que para calibrar el instrumento –y después en cuerpos de aguas más profundas. Al final, como idea de último momento, se sugiere un método alternativo para medir el tiempo de inmersión y emersión de la pesa, un método que no utiliza un “astrolapsus”, sino un dispositivo al que llamaré el “tazón de hundimiento”.


“Si no desea hacer esto, tome un tazón de cerámica con un orificio en el fondo. Cuando coloque la pesa de fierro y cobre en el agua, pose el tazón sobre la superficie del agua y observe cuánta agua entra al tazón durante el tiempo que tarda el globo en subir nuevamente. Pese esa agua: cuatro medidas de plata corresponden a diez veces la altura de un hombre promedio, una medida de plata corresponde a dos veces y media la altura de un hombre promedio, doscientas medidas de plata a cincuenta veces tal altura. Así se realiza el sondeo.13

El “tazón de hundimiento” es una herramienta de origen hindú, completamente funcional para medir el tiempo.14 En la Edad Media se dio a conocer en el mundo árabe y después se importó a la cultura latina. Este texto es la primera evidencia de este proceso de transferencia de conocimiento. Sin embargo, en este contexto, no es la presencia del tazón de hundimiento, sino la del astrolabio la que sorprende a los investigadores modernos. En sus experimentos, Jacquemard y Haire establecieron que los intervalos de tiempo involucrados en el procedimiento son de pocos minutos y que esos períodos son demasiado pequeños para medirse de manera precisa con un astrolabio;15 sin embargo, es posible calcularlos eficientemente con un tazón de hundimiento. Así, mientras que la descripción de la pesa y del tazón sugiere que los autores del texto eran artesanos competentes, la función asignada al astrolabio hace dudar que el procedimiento en realidad se haya llevado a cabo con éxito como se describe.

¿Por qué el texto combina pasos confiables y no confiables en las instrucciones? Jacquemard y Haire se plantean la misma pregunta y sugieren que existieron instrucciones originales en las que se utilizaba un tazón de hundimiento y no un astrolabio.16 No pueden explicar por qué se habrá agregado el astrolabio, pero reportan que, en las descripciones renacentistas del mismo método, el astrolabio desapareció y solamente se utiliza el tazón de hundimiento para medir el tiempo.

En conclusión, el pasaje parece un grupo de instrucciones prácticas, pero no es posible leerlo como tal. También resulta difícil descartarlo como una colección puramente especulativa de extractos tomados de fuentes árabes, sin entenderlas realmente.

Sin contar el astrolabio, el procedimiento técnico descrito es perfectamente factible y, como afirmaron Jacquemard y Haire, el texto muestra una clara noción física de la situación.17 Además, la tradición manuscrita del texto no permite que se le considere como el resultado de una copia descuidada. ¿Con qué intención se le habrá escrito? Se puede encontrar una respuesta a esta pregunta investigando más de cerca la naturaleza ambigua de la esfera plana. Para hacerlo, comenzaré discutiendo la diferencia entre la experiencia matemática medieval y la moderna.18 Entender esta diferencia es esencial para establecer un enlace entre la esfera plana de la Edad Media Latina y el astrolabio de los tiempos modernos.

 

El compás y el Círculo

 

En las matemáticas de hoy, es común distinguir entre una teoría matemática y sus aplicaciones prácticas. Por lo general, nos referimos a los objetos matemáticos y pensamos en ellos en términos de definiciones teóricas, a menudo utilizando un formalismo simbólico. No obstante, esta no es la única posibilidad.
Por ejemplo, es posible referirse a un círculo y pensar en él en más de una forma.19 Algunas posibilidades son:

(1) Un círculo es una figura plana contenida por una línea cuyos puntos son todos equidistantes desde un punto específico dentro de la figura.

(2) Un círculo es la figura dibujada utilizando un compás.

(3) Un círculo es el conjunto de todos los puntos sobre el plano x-y cuyas coordenadas satisfacen una ecuación del tipo x2+y2=a2, donde “a” es constante.

Aunque estas definiciones parecen equivalentes, sus implicaciones epistemológicas son muy diferentes. Alguien que conciba al círculo de conformidad con la definición (1) quizá no tenga idea de cómo dibujarlo, en la práctica.

Por otro lado, alguien que conozca el uso del compás que se menciona en la definición (2), tal vez no conozca la propiedad del círculo que se menciona expresamente en la (1). Por último, la definición (3) solamente podrá comprenderla alguien que ya conozca la notación algebraica y las coordenadas cartesianas; sin embargo, no dice nada sobre cómo es un círculo o cómo dibujarlo. El círculo ofrece un ejemplo relativamente sencillo de la compleja relación entre forma y contenido en matemáticas. Para una curva genérica, no existe una ruta obvia que conecte la expresión algebraica, procedimiento de trazado y propiedades geométricas entre sí.

En las matemáticas modernas, no solamente distinguimos la teoría de las aplicaciones, sino que también tendemos a considerar que la primera es “más matemática” que la otra.20 Debido a esta predisposición, los textos que contienen instrucciones de dibujo como el número (2) pueden parecer a primera vista como fórmulas diseñadas exclusivamente para mostrar una aplicación específica de la geometría, por ejemplo, en mecánica o arquitectura. Este no era el caso en la matemática de la alta edad media, donde el enfoque clásico griego axiomático-deductivo cayó en desuso.21 En este periodo, las cuatro artes matemáticas (aritmética, geometría, música y astronomía) eran normalmente enseñadas mediante ejercicios repetidos en procedimientos fijos, como construcciones con regla y compás. Los ejercicios servían para la memorización y la internalización de los métodos practicados, que también se convertirían en patrones abstractos que guiaban la reflexión matemática.

Por lo tanto, en las matemáticas medievales, pensar en el círculo como la figura dibujada por un compás no era una concepción primitiva suficiente tan sólo para necesidades prácticas, sino un medio muy efectivo de explorar y aprovechar las propiedades geométricas del círculo, tanto en dibujo real como en construcción mental.

Los instrumentos no sólo desempeñaron un papel fundamental en la aplicación de las matemáticas, sino también en su concepción; un matemático medieval debía tener un compás en la mente y ser capaz de manipularlo de la manera correcta. Dentro de este tipo de experiencia matemática, no se obtiene ninguna distinción entre “teoría” y “aplicación” en el sentido moderno.22 Conforme a esto, en los textos medievales, la misma palabra podía significar “círculo” y “compás”, como sucedía con el latín “circinus” y el inglés “compass”.23 En el idioma alemán, la misma palabra aún conserva ambos significados actualmente: “Zirkel”.

Esta era la situación no solamente en la geometría y astronomía medievales, sino también en las otras dos artes matemáticas que componían el quadrivium: aritmética y música. En aritmética, los procedimientos de construcción eran esenciales para concebir objetos matemáticos. Por ejemplo, la manera en que se realizaban las operaciones con un ábaco era muy útil para concebir y manipular tanto números enteros como fraccionales antes de que se introdujera la notación numérica posicional Indo-árabe. En la música medieval, el monocordio, -instrumento musical formado por una sola cuerda- tenía un papel similar al del ábaco y el compás: el cual proporcionó tanto una definición operativa de los sonidos musicales como una notación abstracta para discutir sobre la música. Regla y compas, ábaco, monocordio y, como veremos, la esfera plana, eran “instrumentos matemáticos” en un sentido medieval específico: eran la manera en la que las artes matemáticas se podían asir, almacenar, comunicar y explorar.

Es importante mencionar que fue en el siglo once que aparecieron las primeras representaciones conocidas de la Creación en donde la mano de Dios está sosteniendo un compás y una regla.24 Del siglo doce en adelante, las representaciones alegóricas de las cuatro artes cuadriviales en la forma de una mujer sosteniendo instrumentos matemáticos a menudo ilustraron a la Astronomía como si estuviera utilizando un astrolabio.25

 

Recetas Matemáticas y Su Posible Significado Filosófico

Dentro del marco descrito en la sección anterior, las codificaciones verbales del conocimiento matemático a menudo tomaban formas que, para los lectores modernos, pueden parecer recetas, ya que simplemente enlistan los pasos formando un procedimiento. Este es el formato característico de la mayoría de los textos sobre la esfera plana y con frecuencia se ha interpretado como evidencia de la falta de entendimiento matemático “real” de parte de sus autores.26 Sin embargo, al describir las acciones necesarias para construir y utilizar una estructura matemática, se puede hacer referencia a la experiencia compartida de la construcción y sus propiedades. Los lectores que no comparten la experiencia, obviamente no perciben ningún significado más allá de la simple descripción del procedimiento y, por lo tanto, pueden tender a interpretar el texto únicamente como la descripción de una aplicación, desprovista de todo entendimiento “real”. Por otro lado, el historiador que estudia estos textos, nunca puede estar seguro de si los procedimientos descritos realmente se realizaron o no, excepto en los casos raros que son tan improbables como el texto del que se habló en la sección sobre la plomada y el astrolabio.

Recordando esa receta, quizá ahora nos preguntemos si la designación de “astrolapsus” como “astrolabio” fue totalmente satisfactoria. En la aceptación moderna, el astrolabio es la aplicación material de una teoría, construida para desempeñar una función específica. Si el instrumento no funciona, se clasifica como descompuesto, mal construido o mal utilizado: algo está mal. De conformidad con esto, dar instrucciones para utilizar un astrolabio en condiciones inadecuadas sencillamente no tiene sentido. Por otro lado, para la esfera plana medieval latina, la distinción entre teoría y aplicación no se mantuvo. La esfera plana podría ser algún artefacto material para llevar el registro de movimientos celestiales, pero era también una estructura geométrica a imaginar y manipular en la mente, a fin de captar la estructura matemática de esos mismos movimientos. Finalmente, podría convertirse en un patrón que guiara la reflexión cosmológica y teológica. Para entender mejor los diferentes aspectos de la esfera plana, y quizá para que la receta destinada a sondear la profundidad del agua tenga más sentido, sería útil revisar la historia y la estructura del astrolabio.


Cómo entró el Astrolabio a la Europa Latina


Ya se estaban fabricando astrolabios en la antigüedad grecorromana y posteriormente, los astrónomos arabo-islámicos los desarrollaron.27 En el Occidente Latino Medieval, sin embargo, tanto el astrolabio como la astronomía grecorromana habían quedado en el olvido: en el siglo siete A.D., la astronomía latina había casi perdido su componente cuantitativo.28 Las esferas y los círculos proporcionaron un modelo pictórico de las estructuras celestiales, pero rara vez se utilizaban para llevar a cabo cálculos reales. En tiempos carolingios, el interés en las observaciones y las predicciones astronómicas comenzó a crecer y para el siglo once, los eruditos latinos ya conocían los astrolabios fabricados por sus vecinos arabe-islámicos en Al-Ándalus.29

Esto puede parecer sorprendente al principio: aunque en la cultura arabo-islámica existieron muchos libros de texto sobre astronomía matemática, los eruditos latinos de los siglos diez y once decidieron aprovechar los intercambios interculturales para aprender acerca del astrolabio, una herramienta material. ¿Se concentraron en los astrolabios debido a que estos dispositivos eran más fáciles de comprender que los libros árabes? Los astrolabios de ninguna manera son explícitos, como puede darse cuenta cualquiera que los ve por primera vez en un museo; no lo son especialmente en lo que respecta a su estructura geométrica. Además, los manuscritos latinos más antiguos sobre la esfera plana muestran que quienes los escribieron eran capaces de dominar el idioma árabe, al menos el hablado.30 Esto hubiera sido suficiente para acercarse a las versiones árabes de las obras de Ptolomeo.

En el siglo doce, también, a menudo las traducciones no se realizaban directamente sino con la ayuda de intérpretes bilingües.31 Así, no fue por ignorancia que el latín se interesó en los astrolabios árabes. ¿Habrá sido tal vez porque estos dispositivos se podían utilizar para determinar los momentos de oración en forma más precisa que otros métodos?32

De hecho, la medición del tiempo era un tema principal en los manuscritos sobre la esfera plana, pero los textos latinos incluían mucho conocimiento que hubiera sido innecesario para las necesidades litúrgicas.33 Además, los historiadores dudan qué tan útiles pudieran haber sido en realidad los astrolabios como relojes.34 De hecho, además de la mención de la medición del tiempo en los manuscritos de la esfera plana, no existe otra evidencia positiva de que los astrolabios se hayan utilizado para ese propósito en la alta edad media en Europa. Solamente existe un astrolabio latino de finales del siglo diez o principios del siglo once y debido a sus pequeñas dimensiones y su impreciso mapa estelar, hubiera sido poco adecuado para medir el tiempo con exactitud.35

El astrolabio interesó a los matemáticos latinos no porque fuera fácil de entender o útil en la práctica, sino porque hablaba el mismo lenguaje matemático que ellos. Era una herramienta material cuya construcción y uso encarnaban y por lo tanto representaban una compleja estructura matemático-astronómica. A finales del siglo diez y comienzos del once, el astrolabio era el medio ideal para transferir el conocimiento astronómico de la cultura arabo-islámica a la latina. El resultado de este proceso de transferencia y asimilación de conocimiento fue la esfera plana latina. Al igual que el círculo y la esfera, la esfera plana podía guiar la reflexión filosófico-teológica por numerosas rutas. En la actualidad, algunas podrían parecer triviales y meramente prácticas, como la medición del tiempo.


La Medición del Tiempo


Entre los primeros textos acerca de la esfera plana, muchos describen cómo relacionar el flujo de tiempo experimentado con una estructura geométrica – el círculo – y después utilizar esta estructura para calcular el número de “partes” que conforman el intervalo sucedido.36 Por ejemplo, algunos textos explican cómo representar las horas canónicas que controlan los rezos (“prima”, “tertia”, “nona”, y así sucesivamente), cuya longitud varía según el lugar y la estación, como los arcos en un círculo, relacionándolas así a las veinticuatro horas equinocciales que forman el ciclo día-y-noche.

En la actualidad, pocas personas saben cómo utilizar un astrolabio como dispositivo de medición del tiempo. Por otro lado, la idea de relacionar el flujo de tiempo a un movimiento circular con el propósito de medirlo es tan familiar para nosotros que parece trivial. Desde un punto de vista moderno, es fácil interpretar muchos textos de la esfera plana como recetas para medir el tiempo. En el contexto de la alta edad media, sin embargo, tenían un significado filosófico y teológico mucho más profundo, ya que ofrecían un nuevo patrón matemático capaz de adaptar las experiencias terrestres del paso del tiempo, por un lado, al ritmo eterno del tiempo celestial, por el otro, asimilándolos de esta forma uno en relación con el otro. Este paso no era nada obvio, como tampoco era obvio considerar el tiempo que había pasado como algo que podía dividirse en un número específico de “partes”.37 A diferencia de hoy, en la Edad Media, medir el tiempo no era necesario para controlar las actividades diarias.

Como experto prominente en metrología histórica, Harald Witthöft ha escrito que el concepto moderno de medición es más un obstáculo que una ayuda en la investigación de las mediciones medievales. En palabras de Witthöft: “Las unidades abstractas estándar del sistema métrico hacen hoy más difícil encontrar un acercamiento directo a las unidades de medida medievales. […] La unidad de medida medieval era referencia tanto para calidad como para cantidad, y con su ayuda, uno podía ordenar, entender, describir y hacer posible manipular no sólo condiciones estáticas, sino también procesos. Dentro del “añalejo” medieval, la medida era a la vez realidad, metáfora y símbolo.38


El pensamiento de Witthöft no solamente se refiere a las interrogantes abstractas de la medición del tiempo, sino también a campos en los que el significado de “medida” puede parecer completamente simple, como longitudes o pesos.

En este punto, no puedo hacer más que simplemente mencionar las complejidades conceptuales y prácticas de la “mensura” medieval.39 En lo que se refiere a la medición del tiempo, es especialmente importante recordar cómo, desde tiempos carolingios, los eruditos latinos han venido desarrollando el método de “computus”, es decir, esas estructuras aritméticas que les permitieron tomar y explorar los ritmos del tiempo religioso y celestial.40 El interés latino en el astrolabio se debe de entender también contra el antecedente de su tradición. El astrolabio podía proporcionar un punto de inicio para el desarrollo de un nuevo formato de filosofía racional del tiempo y del orden general de la naturaleza. Una de las principales características de la nueva filosofía natural racional era el hecho de que también podía producir efectos perceptibles; por ejemplo, predicciones astronómicas que se podían verificar contra fenómenos o un cálculo correcto de longitudes y alturas. A continuación ilustraré algunos aspectos importantes de la esfera plana y espero que el lector sienta algo de la fascinación que este instrumento quizá ejerció en los eruditos latinos del Medievo.



La Esfera como un Patrón Cósmico



La estructura astronómico-matemática del astrolabio es una proyección bidimensional del modelo ptolemaico tridimensional del cosmos. El modelo ptolemaico postula una serie de esferas muy grandes, para todos los efectos prácticos infinitamente grandes, que comparten el mismo centro (es decir, homocéntrico). La esfera más pequeña es la Tierra, que está inmóvil, mientras que las esferas más grandes llevan a los diferentes cuerpos celestiales y giran sobre sus ejes de conformidad con patrones más o menos complejos.41 Aquí, yo consideraré una versión simplificada de este modelo, que solamente contiene la Tierra y una esfera celestial, que lleva en su superficie tanto a las estrellas fijas como al Sol. La Luna y los planetas no tenían ninguna función en los primeros manuscritos latinos acerca de la esfera plana.

Las estrellas están fijas en sus posiciones sobre la esfera celestial, mientras que el Sol se mueve sobre la superficie de la esfera con respecto a ellas, siguiendo una ruta circular que pasa a través de doce constelaciones: los signos del Zodiaco (Fig. 3). Esta ruta circular se llamó el círculo del Zodiaco y se conocía también en la astronomía ptolemaica como la eclíptica.42 Se encuentra sobre la esfera celestial inclinada con respecto al ecuador celestial. El tiempo que le toma al Sol completar una órbita es un año. Conforme el Sol se mueve lentamente por el círculo del Zodiaco, toda la esfera celestial gira sobre su eje norte-sur. El período de este giro es un día celestial, que tradicionalmente se divide en veinticuatro horas equinocciales de igual longitud. La proporción entre un año y un día celestial es de aproximadamente 365 ¼.





Figura 3: La esfera celestial. El ecuador celestial es el círculo máximo perpendicular al eje norte–sur; el círculo del Zodiaco/Eclíptica (línea punteada) es un círculo máximo inclinado con respecto al ecuador celestial; los dos Trópicos son círculos paralelos al ecuador celestial que tocan el Zodiaco en sus puntos más al norte y más al sur, respectivamente. Estos dos puntos corresponden al comienzo de los signos zodiacales de Capricornio y Cáncer, de ahí los nombres de los Trópicos. El círculo punteado es un círculo del horizonte que corresponde a la latitud 38° 30'.


¿Cómo se verían estos movimientos para un observador parado sobre la superficie de la Tierra? No es sorprendente, el modelo homocéntrico de la esfera predijo correctamente la apariencia general de los fenómenos celestiales tal y como se verían desde la Tierra. Antes que nada, nosotros en realidad vemos al cielo como un domo esférico muy grande, en cuyo centro nos encontramos. Además, desde un punto de vista terrestre, la tierra está inmóvil y el Sol y las estrellas se mueven. Incluso, la tierra parece plana y no curva, tocando el cielo a una enorme distancia a lo largo de una línea circular llamada el horizonte.

Esto se puede explicar dentro de ambos modelos, el Ptolemaico y el de Copérnico, resaltando que, en relación con los humanos, la esfera de la Tierra es infinitamente grande y por lo tanto, no percibimos su curvatura.

Lo que vemos como una línea distante que separa la tierra del cielo, nuestro horizonte local, tiene una representación geométrica muy sencilla en el modelo ptolemaico: se considera como un círculo máximo sobre la esfera celestial que la corta en dos mitades, una visible y una invisible. Para un observador parado sobre el Polo Norte de la Tierra, el círculo del horizonte coincide con el ecuador celestial. En general, la inclinación del círculo del horizonte con respecto al ecuador celestial dependerá de la posición del observador en la Tierra. Mientras la esfera celestial gira, el círculo del horizonte, restringido por el observador terrestre, permanece inmóvil. Así, el observador ve los cuerpos celestiales que se elevan y se ponen en el horizonte.

El modelo homocéntrico de la esfera no solo permite darle un sentido cualitativo a la variedad geográfica y estacional de los fenómenos celestiales, también proporciona un medio para calcularlos. Sin embargo, como herramienta para hacer predicciones exactas, este modelo no es muy eficiente: su tridimensionalidad lo hace útil como representación pictórica cualitativa, pero se convierte en una complicación si deseamos construir un modelo material del mismo o simplemente visualizar sus movimientos en la mente. Es en este punto que la proyección bidimensional de la esfera entra en juego. Existen numerosas maneras de representar una superficie esférica en un plano, por ejemplo, como las utilizadas en la cartografía contemporánea. No obstante, el método que les interesaba a los astrónomos medievales es diferente y en nuestros días se le conoce como “proyección estereográfica”.43 Hablaré de este tema en la siguiente sección, utilizando un experimento mental que también se puede llevar a la práctica.44

La Sombra de la Esfera

 

Imaginemos un modelo tridimensional de la esfera celestial: no un globo sólido, sino un dispositivo hecho de círculos que se cruzan entre sí, por ejemplo, el ecuador, el Zodiaco, los Trópicos y un círculo meridiano, que pasen por los Polos Norte y Sur.

Tales modelos han existido desde la antigüedad y se llaman “esferas armilares”45. La esfera del modelo puede girar sobre su eje norte-sur y está fijada con un círculo mayor adicional, que representa el círculo del horizonte y cuya inclinación con respecto al ecuador se puede variar a voluntad. Cuando la esfera gira, el círculo del horizonte, fijo a la Tierra, permanece inmóvil.

Imagínese un modelo como este bajo un techo blanco, con su eje norte-sur vertical. Pensemos que únicamente está iluminado por una fuente de luz similar a un punto, colocada exactamente en el Polo Sur celestial. Cuando los círculos de la esfera unen sus sombras en el techo, el patrón geométrico que aparecerá será la misma estructura que encontramos en la cara de un astrolabio y esto a menudo se describe en los manuscritos latinos acerca de la esfera plana (Figura 4).




Figura 4: La sombra de la esfera. Esta imagen muestra las proyecciones estereográficas de los círculos de la esfera en la Figura 3. Los tres círculos concéntricos son (de adentro hacia afuera) las proyecciones de: el Trópico de Cáncer, el ecuador y el Trópico de Capricornio. Su centro común es la proyección del Polo Norte de la esfera. El círculo punteado es la proyección del Zodiaco, mientras que el círculo trazado con guiones más separados es el del horizonte, que corresponde a la latitud 38° 30'. En los astrolabios, normalmente se elegía que el borde coincidiera con la proyección del Trópico de Capricornio, de tal forma que para la mayoría de los valores de latitud, tan sólo se pudiera representar una parte del círculo del horizonte.


Este tipo de proyección tiene propiedades geométricas remarcables, una de éstas es inmediatamente visible para quienes realizan el experimento descrito arriba: la sombra proyectada en el techo por cualquiera de los círculos sobre la esfera sólida es, por si misma, un círculo. Esto aplica a todos los círculos celestiales – no solamente al caso trivial de los que están paralelos al techo, como el ecuador, sino también a los que están inclinados con respecto al mismo. Por ejemplo, la sombra del círculo del Zodiaco es también un círculo y, sin importar en qué posición esté el horizonte, su sombra siempre será un círculo.

Resumiendo, todos los círculos de la esfera sólida son círculos en la esfera plana también. Esta propiedad no es nada trivial. No existen argumentos sencillos, intuitivos, para entender su validez. Se puede demostrar utilizando luz y sombra, pero otorgar una prueba deductiva de la misma es bastante difícil.

Cuando los aros de la esfera celestial giran mientras que el círculo del horizonte permanece inmóvil, las sombras en el techo reproducen en dos dimensiones la salida y la puesta de cuerpos celestiales en el horizonte. Esto no es una representación pictórica: los círculos de las sombras no se parecen a los arcos descritos en el cielo por el Sol y las estrellas. Sin embargo, gracias a sus características geométricas, la estructura bidimensional se puede utilizar como una computadora análoga. Por ejemplo, las duraciones de la luz del día a diferentes horas o en diferentes lugares se representan mediante arcos de círculos cuyo radio es igual al radio entre las duraciones. Esta propiedad tampoco es trivial, ya que permite que los intervalos de tiempo que nunca se pueden experimentar simultáneamente, se comparen en términos geométricos, así como que se desglosen en las mismas unidades, por ejemplo, horas equinocciales o grados sexagésimos. Así se asimilan el flujo de tiempo terrestre y el tiempo celestial; ambos se representan como movimientos circulares y después se dividen en el mismo tipo de unidades.

Regresemos ahora a la propiedad del círculo en el círculo. No se puede subestimar su importancia, puesto que otorga la base para un simple procedimiento de regla y compás para construir los círculos de sombra que corresponden al ecuador, Zodiaco y horizonte(s) en papel, pergamino o madera. El método de dibujo es fácil de imitar y memorizar, pero la tarea de describirlo verbalmente en forma clara no es fácil y no lo intentaré.46 No es obvio que dicho procedimiento exista y, sin él, toda la estructura hubiera sido inútil para los astrónomos latinos, para quienes la construcción era el idioma de las matemáticas. Solamente en la forma de un procedimiento de dibujo, la esfera plana se podía convertir tanto en un patrón filosófico como en una herramienta de trabajo.


La Esfera Plana y sus Aspectos Filosóficos y Experimentales

En los textos sobre la esfera plana, una y otra vez, el círculo desempeñó un papel fundamental: como modelo para estructuras y movimientos celestiales, como patrón conservado en la proyección, como una forma representando el flujo del tiempo tanto terrestre como celestial, un elemento clave en el procedimiento de dibujo. Este hecho confirmó y reforzó la tradición que le dio al círculo un estatus privilegiado en la filosofía natural y la teología.47

No obstante, el hecho de que las estructuras racionales también funcionaban en el mundo material era igual de importante para los filósofos latinos. Por consiguiente, los manuscritos no solamente centraban su atención en los asuntos filosóficos, sino también en los detalles más técnicos del funcionamiento de la esfera plana: las colecciones de manuscritos combinan reflexiones filosóficas sobre la racionalidad natural con pasajes tipo receta sobre cómo construir y utilizar herramientas topográficas, como el cuadrante, además de cuidadosas descripciones del astrolabio con extractos de trabajos antiguos de geografía y cosmología.48 Hasta los artefactos más sencillos podían asumir relevancia filosófica, si sus funciones contribuían a la exploración del orden racional, divino, del mundo natural. En este sentido, la esfera plana también se podía incorporar en herramientas topográficas muy sencillas, como el cuadrante, e incluso en artefactos completamente anti-matemáticos, como la pesa cargada o el tazón de hundimiento.

No obstante, fue como sujeto filosófico, que la esfera plana entró al reino de la palabra escrita. Si se hubiera tratado simplemente de un dispositivo útil en la práctica, hubiera permanecido en el reino del aprendizaje oral y práctico, como otras innovaciones técnicas de la Edad Media. Los manuscritos medievales no dicen nada sobre los molinos de agua, sobre los primeros mecanismos activados por peso ni sobre los métodos de los arquitectos medievales.49

La esfera plana era una herramienta racional que asociaba fenómenos observables con estructuras ordenadas y es esta conexión en todas sus distintas formas posibles, lo que se enfatiza constantemente en los textos latinos.

 

La Ecuación del Movimiento Terrestre y Celestial Gracias a la Esfera Plana

Regresemos al pasaje que describe cómo medir la profundidad del agua. Un “astrolapsus” se utilizó para medir los tiempos de inmersión y emersión de una pesa cargada, aunque los intervalos involucrados en el proceso hubieran sido bajo toda probabilidad, demasiado cortos para realizar cálculos con un astrolabio. El tazón de hundimiento era una herramienta mejor para dicha labor, aunque este dispositivo solamente se mencionaba al final de las instrucciones como una posible alternativa. Por lo tanto, cuando el término “astrolapsus” se traduce como “astrolabio”, el texto se convierte en una receta detallada para un procedimiento que no funciona. Sin embargo, si en cambio, entendemos el término “astrolapsus” como “esfera plana”, el pasaje adquiere un significado tanto experimental como filosófico.

Lo más probable es que el origen del texto sea el experimento real con el método de estudio que incluye la plomada y el tazón. De hecho, las palabras escritas no tenían únicamente el propósito de describir un procedimiento útil, como ocurriría después, en el Renacimiento. Al seleccionar el “astrolapsus” para representar por escrito el hecho de medir el tiempo, el autor pasaba la información de que tal medida podía ser más que sólo un número de unidades convencionales, como las “medidas de plata”.

Gracias a la esfera plana, que combinaba los patrones racionales de la astronomía matemática con el efecto de las herramientas de estudio, el intervalo transcurrido se podía expresar en términos de revoluciones celestiales. Era posible establecer una analogía matemática entre los movimientos terrestres y celestiales gracias al uso competente, racional, tanto abstracto como material, de instrumentos matemáticos. Debido al fenómeno al que nos referimos como “velocidad límite en los fluidos”, el movimiento de la pesa en el agua es una buena aproximación de un movimiento linealmente uniforme. La mayoría de los movimientos terrestres no son de este tipo y por lo tanto, no es tan fácil relacionarlos con el movimiento celestial. En este sentido, también la pesa era un dispositivo de importancia filosófica.

Al realmente llevar a cabo este procedimiento, se tenían que tomar en cuenta las dificultades técnicas y el tazón de hundimiento podía ayudar a resolverlas. Así que, el tazón de hundimiento también era un componente de la esfera plana, aunque por sí mismo este dispositivo proporcionara una medición del tiempo en unidades que podían tener, en el mejor de los casos, un significado convencional.

Debido a que la estandarización moderna de las medidas no era una categoría en el pensamiento o práctica del Medievo, si se llegó a utilizar el tazón de hundimiento, quizá se le consideraba como una medición del tiempo en términos de algunas unidades de peso locales.50

Por otro lado, el “astrolapsus” permitió que un movimiento terrestre corto, lineal e irreversible se conectara a la revolución circular inmutable y eterna de la esfera celestial, justo como permitió también que las variables horas canónicas del trabajo y el rezo de todos los días se conectaran a las veinticuatro horas equinocciales utilizadas por los astrónomos. La esfera plana proporcionó una medida del tiempo que, en términos modernos, se podría denominar “natural” o “absoluta”, porque es posible percibirla como basada en el orden natural –y en el pensamiento medieval, por lo tanto, también divino–.51 Saber cómo hacer las herramientas y realizar la medición era conocimiento y a la vez representación de ese orden divino.

El mismo texto del que se tomó el pasaje inicial también explica que la esfera plana permite la ascensión “de la acción a la contemplación”.52 Nos referimos al cosmos como una “superna machina”, una expresión que se puede traducir como “máquina de un orden superior”53. Concebir al mundo como una máquina implica ver a Dios como un arquitecto divino, cuyos hombres de trabajo no sólo lo admiran en su forma exterior, sino también –al menos hasta cierto punto– entienden su lógica interior, gracias al pensamiento racional y a la acción. En este sentido, construir y manipular una esfera plana era una actividad mental y manual análoga a la creación del orden cósmico.

El poder de la racionalidad humana y de las artes liberales para investigar el orden natural se establecería y debatiría después, por los teólogos racionales del siglo doce y sus opositores; sin embargo, en su caso, la racionalidad estaba más en la mente que en las manos.54 No obstante, al mismo tiempo, los artistas matemáticos continuaron explorando la naturaleza con herramientas racionales que también tenían un lado material.

“Aquellos cuyo arte es fabricar dispositivos que digan la hora [‘relojes'], están tratando de crear un solo círculo que se mueva en todos los sentidos conforme al movimiento del Ecuador. Pero no han podido completar su proyecto. Si lo lograran, ese sería un verdadero dispositivo para marcar la hora [horologium verax valde] y valdría más que un astrolabio o que cualquier otro instrumento astronómico para medir el tiempo, si alguien realmente supiera cómo hacerlo tal y como lo mencioné antes”55. Así escribió Robertus Anglicus en el año 1271 en una obra sobre astronomía. A principios del siglo catorce, aparecieron los primeros relojes activados por peso y sus carátulas a menudo mostraban la misma estructura que se encontraba en la cara del astrolabio.56



1 “Est autem Wazzalcora divina mente comparata, quod latine sonat plana spera, quae etiam alio nomine astrolapsus Ptolomaei. In qua Wazzalcora secundum coeli rotunditatem formata naturali ratione tota coelestis sphaere describitur forma et omnia ritu coelestium figurationum architectonica ratione notantur”. (Nicolaus Bubnov, ed., Gerberti opera mathematica (Hildesheim, 1963), pág. 374). Todas las traducciones del latín son mías. La fama de Ptolomeo (Claudius Ptolomaeus, ca. 100-170), astrónomo griego, seguía viva en la Edad Media Latina (Gerald J. Toomer, Ptolomeo, en: Diccionario de Biografías Científicas, vol. 11 (Nueva York, 1975), págs. 186-206).

2 Este capítulo se basa en la investigación realizada por A. Borrelli, Aspectos del Astrolabio. Proporción Arquitectónica en la Europa de los siglos Diez y Once, tesis de Ph.D., entregada en noviembre de 2005 a la Facultad de Historia, Universidad de Braunschweig (sin publicar). Se pueden encontrar listas de los manuscritos que contienen material relacionado con la esfera plana en: Bubnov, Gerberti opera, págs. 109-113; Werner Bergmann, Innovationen des 10. und 11. Jahrhunderts. Studien zur Einführung von Astrolab und Abakus im lateinischen Mittelalter (Stuttgart, 1985), págs. 226-227. Las ediciones de algunos de los primeros textos sobre la esfera plana son: Bubnov, Gerberti opera, págs. 114-147 y 370-375; José María Millás Vallicrosa, Assaig d'història de les idèes fisiques i matemàtiques a la Catalunya medieval (Barcelona, 1931), págs. 271-327; Joseph Drecker, Hermannus Contractus. Über das Astrolab. Isis 16 (1931): 200-219.

3 Para obtener una visión general del contexto histórico y cultural en el que se escribieron los manuscritos, consulte: Arno Borst, Astrolab und Klosterreform an der Jahrtausendwende (Heidelberg, 1989); Charles Burnett, Rey Ptolomeo y Alchandreus el filósofo: Los primeros textos sobre el astrolabio y la astrología árabe en Fleury, Micy y Chartres. Anales de Ciencia 55 (1998): 329-368.

4 Paul Kunitzsch, Glossar der arabischen Fachausdrücke in der mittelalterlichen europäischen Astrolabliteratur (Göttingen, 1982), págs. 517-518; P. Kunitzsch y Richard Lorch, Notas de Maslama sobre el Planisferio de Ptolomeo y textos relacionados. Sitzungsherichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 2 (Múnich, 1994), pág. 13, nota 1.

5 Diccionario de Latín Medieval de Fuentes Británicas, fasc. 1 (Londres, 1975), pág. 147.

6 Encontrará una corta y clara presentación del astrolabio en: John D. North, El Astrolabio. Scientific American 230 (1974): 96-106. Información detallada y una amplia bibliografía actualizada sobre los astrolabios existentes en: David A. King, En Sincronía con los Cielos. Estudios de Medición Astronómica del Tiempo e Instrumentación en la Civilización Islámica Medieval. Volumen II: Instrumentos de Cálculo de Masa (Estudios X-XVII) (Leiden, 2005). Imágenes a color y descripciones de un gran número de astrolabios europeos se pueden encontrar en el catálogo en línea de instrumentos científicos Epact: Instrumentos Científicos de la Europa Medieval y Renacentista. Florencia, Leiden, Londres, Oxford (www.mhs.ox.ac.uk/epact).

7 Este astrolabio está ahora en el Departamento Oriental de la Staatsbibliothek en Berlín (Staatsbibliothek zu Berlin – Preuβischer Kulturbesitz, Orientabteilung, Sprenger 2050). Se describe en: Franz Woepcke, Über ein in der Königlichen Bibliothek zu Berlin befindliches Astrolabium. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Mathematische Klasse (1858): 1-31 y placas 1-3, de donde se tomaron los dibujos de la Figura 2.

8 Staatsbibliothek zu Berlin – Preuβischer Kulturbesitz, Orientabteilung, Sprenger 2050. Está enlistado como #116 en: Una lista de verificación de instrumentos astronómicos islámicos de cerca de 1500, ordenados cronológicamente por región, en: King, Sincronía, págs. 995-1020. Agradezco al Departamento Oriental de Staatsbibliothek zu Berlin y a Bildarchiv Preuβischer Kulturbesitz por proporcionarme esta imagen y permitirme utilizarla.

9 Este astrolabio está actualmente en Staatsbibliothek zu Berlin – Preuβischer Kulturbesitz, Orientabteilung (Sprenger 2050). Los dibujos se reprodujeron de: Woepcke, Astrolabio, Figuras 6, 7 y 10. Tanto el artículo como los dibujos están disponibles en línea desde Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften: http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften.

10 El texto “De profunditate maris vel fluminis probanda” se discute en: Alain Haire y Catherine Jacquemard, Antes de la sonda de Puleher (1563): “De profunditate maris vel fluminis probanda” (Siglo XI), Archivos Internacionales de historia de las ciencias 50 (2000): 244-255; A. Haire y C. Jacquemard, Estudio Teórico y Experimental de la sonda inalámbrica descrita en el manuscrito latino Avranches, BM 235. Archivos Internacionales de historia de las ciencias 50 (2000): 256-263; A. Haire y C. Jacquemard, Las fuentes orientales de “De profunditate maris vel fluminis probanda”, Avranches, BM 235, f. 36, en: Ciencia Antigua, ciencia medieval (cerca de Avranches 235), eds. Louis Callebat y Olivier Desbordes (Hildesheim, 2000), págs. 223-235; C. Jacquemard, Investigación sobre la composición y la transmisión de la “Geometria incerti auctoris”. Sobre “De profunditate maris vel fluminis probanda”, Avranches, BM 235, f. 36 in: Ciencia Antigua, ciencia medieval (cerca de Avranches 235), eds. L. Callebat y O. Desbordes (Hildesheim, 2000), págs. 81-119.

11 “Postea pone super aquam cuius profunditatem scire queris et, dum inceperit aquam inmergi, tu eadem hora accipias altitudinem solis in astrolapsu et vide quae hora sit, et dimitte ipsum ferrum cum globo ingredi in aquam usque ad fundum, quia, dum pervenerit ad fundum, ibi se offendit et postea enatans acendendo redibit; et cum pervenerit ad te, tu iterum accipe horam per astrolapsum et videbis quantum est ab hoc quod coepit inmergi usque regressum fuit, si est una hora vel duae vel quotlibet. Postea accipias hastam vel mensuram aliam et inmerge in eodem loco, et mensurabis quot pedes vel cubitos vel status ipsa aqua in profunditate eius et quot horas habeat in inmersione et emersione eius”. (Jacquemard, Investigaciones, p. 105).

12 Esta asunción está teóricamente justificada por el fenómeno de velocidad límite en los fluidos y en realidad se aplicó en los experimentos realizados por Jacquemard y Haire (Haire y Jacquemard, Estudio, págs. 259-260).

13 “Quod si non queris hoc facere, accipe vas tellureum subtus perforatum, et pone super aquam quando ferrum et aeramen inmergis, et videbis quantam colligit aquam ipsum vas quousque redeat ferrum, et ponderabis ipsam aquam: et dabis ad IIII argenteos X status hominis medii, ad I argenteum II status et dimidii, ad ducentos argenteos quingentos status, et sic probabis”. (Jacquemard, Investigaciones, pág. 105). El término “argenteus” significa moneda de plata; sin embargo, como aquí se refiere a una unidad de peso, lo traduzco como “medida de plata” (Diccionario de Latín Medieval, pág. 123).

14 Sobre la historia del tazón de hundimiento: Haire y Jacquemard, Fuentes, págs. 229-232.

15 Haire y Jacquemard, Estudio, págs. 260-261.

16 Haire y Jacquemard, Sonda, págs. 245-246; Haire y Jacquemard, Fuentes, págs. 223-225, 228, 232.

17 Haire y Jacquemard, Estudio, pág. 261.

18 Ejemplos de diferentes tipos de experiencias matemáticas provenientes de la historia, etnología y diversos campos de las matemáticas modernas se pueden encontrar en: Marcia Ascher, Etnomatemáticas. Una Visión Multicultural de las Ideas Matemáticas (Pacific Grove, 1991); Rober J. Sternberg y Talia Ben-Zeev eds., La Naturaleza del Pensamiento Matemático (Mahwah, 1996); Helaine Selin, ed., Las Matemáticas a través de las Culturas. La Historia de las Matemáticas No Occidentales (Dordrecht, 2001); Wolfgang Lefèvre, ed., Imágenes de Máquinas: 1400-1700 (Cambridge, MA, 2004).

19 Para tener una visión general de cómo “el concepto del círculo, al igual que todas las creaciones humanas, depende en realidad ampliamente de su contexto histórico y cultural”, consulte: Catherine Goldstein: Uno es el otro: Para una historia del círculo, Elementos de historia de la ciencias, ed. Michel Serres (París, 1989), págs. 129-149, cita de pág. 129.

20 Un giro decisivo en esta dirección lo dio Renée Descartes (1596-1650), quien declaró que sólo las curvas que eran “geométricas”; es decir, aceptables para la geometría, podían definirse a través de una ecuación algebraica. Las curvas que se pueden dibujar utilizando instrumentos, pero no se pueden expresar en términos algebraicos eran mecánicas y como tales, no tienen lugar en la geometría (de Descartes) (Henk J. M. Bos, Redefiniendo la Exactitud de la Geometría. Transformación de Descartes del Primer Concepto Moderno de la Construcción (Nueva York, 2001), págs. 335-361.

21 Para obtener una visión general de la matemática medieval latina, consulte: Michael S. Mahoney, Matemáticas, en: Diccionario de la Edad Media, vol. 8 (Nueva York, 1987), págs. 205-222. Mis observaciones sobre el papel de los ejercicios en las artes matemáticas medievales se basan en: Sigfrid Wantzloeben, Das Monochord als Instrument und System entwicklungsgeschichtlich dargestellt (Halle, 1911); Guy Beaujouan, La enseñanza del Quadrivium. Semanas de estudio del centro italiano de estudios sobre la alta edad media 19 (1972): 719-723; Gillian R. Evans, La Ritmomaquia: ¿Un auxiliar en la enseñanza de la matemática medieval? Janus 63 (1976): 257-273; C. Burnett, La Introducción a la enseñanza del árabe en Inglaterra (Londres, 1997), págs. 10-16; Rosamond McKitterick, Libros y ciencia antes de la imprenta, en: Libros y las Ciencias en la Historia, ed. Marina Frasca-Spada und Nicholas Jardine (Cambridge, 2000), págs. 13-34, especialmente las páginas 25-30. Los ejercicios y la memoria fueron de suma importancia en la cultura monástica de la alta edad media, mucho más allá del campo de las matemáticas. Sobre este tema, consulte: Mary J. Carruthers, El Arte del Pensamiento. Meditación, Retórica y la Creación de Imágenes, 400-1200 (Cambridge, 2000).

22 G. Beaujouan, Reflexiones sobre las relaciones entre la teoría y la práctica en la edad media, en: El Contexto Cultural de la Enseñanza Medieval, eds. John E. Murdoch y Edith D. Sylla (Boston, 1974), págs. 437-484.

23 Oxford English Dictionary, 2ª edición, volumen 3 (Oxford, 1989), págs. 594-595.

24 John Block Friedman, El compás del arquitecto en miniaturas de la creación de finales de la Edad Media. Traditio 30 (1974): 419-429.

25 Jutta Tezmen-Siegel, Die Darstellungen der septem artes liberales in der bildenden Kunst als Rezeption der Lehrplansgeschichte (Múnich, 1985).

26 Ejemplos de esas interpretaciones son: Peter Conzelmann y Marianne Hess, Zur Bedeutung des Astrolabs in den Schriften Hermanns des Lahmen von Reichenau. Archiv für Kulturgeschichte 62-63 (1980-1981): 49-63, especialmente páginas 57-63; Bergmann, Innovationen, págs. 105-121; Borst, Klosterreform, págs. 28-38; Emmanuel Poulle, La literatura astrolábica latina hasta el siglo XIII. Physis 32 (1995): 227-238; Bruce S. Eastwood, Astronomía en la Europa Latina Cristiana. Diario de la historia de la astronomía 28 (1997): 235-258, especialmente página 253.

27 Otto Neugebauer, El principio de la historia del astrolabio. Estudios de astronomía antigua IX. Isis 40 (1949): 240-256; P. Kunitzsch, Observaciones sobre la recepción árabe del astrolabio. Archivos internacionales de historia de las ciencias 31 (1981): 245-252.

28 Para tener una visión global de la astronomía a principios de la edad media y en la alta edad media, consulte: Eastwood, Astronomía; Stephen C. McCluskey, Astronomías y Culturas a Principios de la Edad Media en Europa (Cambridge, 1998), especialmente páginas 115-187.

29 Para tener una visión general de la astronomía arabo-islámica, consulte: D. A. King, Mapas Mundiales para Encontrar la Dirección y la Distancia a la Meca: Innovación y Tradición en la Ciencia Islámica (Leiden, 1999), págs. 3-46. En España, siglo once: Simon Barton, España en el Siglo Once, en: La Nueva Historia Medieval de Cambridge, vol. 4, parte 2, eds. D. Luscombe y J. Riley-Smith (Cambridge, 2004), págs. 154-190 y 804-808.

30 Algunos pasajes de los textos latinos incluso se podían identificar como traducciones literales de extractos tomados de libros de texto árabes; cf. P. Kunitzsch, Al-Khwārizmī como fuente para Sententiae astrolabii, in: De Deferente a Ecuante. Un volumen de Estudios en Honor de E.S. Kennedy, eds. D.A. King y George Saliba (Nueva York, 1987), págs. 227-236; P. Kunitzsch, Fragmentos del “Planisphaerium” de Ptolomeo en una de las primeras traducciones al latín. Centaurus 36 (1993): 97-101.

31 Para tener una visión general de los estudios recientes sobre las traducciones al latín realizadas en el siglo doce, consulte: Sonja Brentjes, Reflexionen zur Bedeutung der im 12. Jh. Angefertigten lateinischen Übersetzungen wissenschaftlicher Texte für die europäische Wissenschaftsgeschichte, en: Europa. Die Gegenwärtigkeit der antiken Überlieferung, eds. Justus Cobet, Carl Friedrich Gethmann y Dieter Lau (Aachen, 2000), págs. 269-305.

32 Esta opinión la han expresado varios historiadores, por ejemplo: Bergmann, Innovationen, págs. 9-10; Borst, Klosterreform, pág. 13; McCluskey, Astronomías, pág. 171.

33 Para ver algunos ejemplos, consulte los pasajes acerca del uso del astrolabio, editados en: Bubnov, Gerberti opera, págs. 131-136.

34 Conzelmann y Hess, Bedeutung, págs. 60-63; Gerhard Dohrn-van Rossum, Historia de la Hora. Los Relojes y La Organización Moderna del Tiempo (Chicago, 1996), págs. 75-81; E. Poulle, Los instrumentos astronómicos de la Edad Media. Astrolábica 3 (1983), pág. 23.

35 Para más información sobre el astrolabio latino más antiguo, consulte: Wesley M. Stevens, G. Beaujouan y Anthony J. Turner, eds. El Astrolabio Latino más Antiguo. Physis 32 (1995); P. Kunitzsch y Elly Dekker, Las estrellas en el llamado “astrolabio carolingio”, en: De Bagdad a Barcelona: Estudios en las Ciencias Exactas Islámicas en Honor al Prof. Juan Vernet, eds. Josep Casulleras y Julio Samsó, vol. 2 (Barcelona, 1996), págs. 655-672.

36 Millás, Assaig, págs. 283-287; Bubnov, Gerberti opera, págs. 133-135. Con relación a las horas medievales desiguales, consulte: Dohrn-van Rossum, Hora, págs. 29-40.

37 En relación con la dependencia histórica y cultural del concepto(s) de tiempo, consulte: Giovanni Gasparini, Tiempo y vida cotidiana (Roma, 2001). Acerca de la organización del tiempo en la Europa medieval, tanto antes como después de la invención de los relojes mecánicos, consulte: Dohrn-van Rossum, Hora.

38 Harald Witthöft, Maβgebrauch und Meβpraxis in Handel und Gewerbe desMittelalters, en: Mensura. Maβ, Zahl, Zahlensymbolik im Mittelalter, ed. Albert Zimmermann, vol. 1 (Berlín, 1983), págs. 234-260, cita pág. 235. La traducción al inglés es mía.

39 Con respecto a una colección de ensayos sobre este tema, consulte: A. Zimmermann, ed., Mensura. Maβ, Zahl, Zahlensymbolik im Mittelalter, 2 vols. (Berlín, 1983-1984).

40 El “Computus” medieval se discute en su relación con el ordenamiento del tiempo antiguo y moderno, en: A. Borst, El ordenamiento del tiempo. Del Computus Antiguo a la Computadora Moderna (Chicago, 1993).

41 Para saber más sobre la historia del modelo homocéntrico de la esfera desde su forma más simple hasta la más compleja, consulte: Michael Hoskins, Astronomía en la antigüedad, en: La Historia Concisa de la Astronomía en Cambridge, ed. M. Hoskins (Cambridge, 1999), págs. 18-47.

42 En la astronomía de Copérnico, el término “eclíptica” finalmente llegó a indicar la ruta de la Tierra alrededor del Sol. El “Círculo del Zodiaco”, por otro lado, hoy se conoce principalmente como un término astrológico.

43 Una descripción y la historia de la proyección estereográfica se encuentra en: Ron B. Thomson, Introducción, en: Jordanus de Nemore y la Matemática de los Astrolabios: “de plana spera”. Una edición con Introducción, Traducción y Comentario, ed. R. B. Thompson (Toronto, 1978), págs. 28-73.

44 Hasta donde yo sé, no existe evidencia de que ese experimento se haya realizado en la antigüedad o en la Edad Media.

45 Acerca de la esfera armilar, consulte: Poulle, Instrumentos, págs. 5-7.

46 El monje Herman de Reichenau (1013-1054), un talentoso matemático y escritor, fue el primero en producir una cuenta clara y concisa del método y hasta el siglo trece, su tratado permaneció como la referencia estándar para la medición de la esfera plana (“de mensura astrolabii”). El texto de Herman se edita y comenta en: Drecker, Hermannus Contractus. Incluso en la actualidad, sigue siendo la mejor guía para aprender a dibujar líneas de astrolabio.

47 No solamente el círculo, también los diagramas circulares (“rotae”) tuvieron un papel central en la filosofía natural medieval; John E. Murdoch, Álbum de Ciencia. Antigüedad y Edad Media (Nueva York, 1984), págs. 52-61.

48 Para consultar ejemplos, vea el contenido de los manuscritos que se mencionan en: Bergmann, Innovationen, págs. 228-250; sobre el cuadrante, consulte: Poulle, Instrumentos, págs. 9-13.

49 La falta general de fuentes escritas sobre conocimientos de artesanía medieval, se discute en: Laetitia Boehm, Artes mechanicae und artes liberales im Mittelalter. Die praktischen Künste zwischen illiteraler Bildungstradition und schriftlicher Wissenschaftskultur, en: Festschrift für E. Hlawitschka zum 65. Geburtstag, eds. Karl R. Schnith y Roland Pauler (Kallmünz, 1993), págs. 419-444; sobre molinos de agua: Bradford B. Blaine, El enigmático molino de agua en: De Tecnología y Ciencia Pre-modernas. Un Volumen de Estudios en Honor a Lynn White, Jr., eds. Bert S. Hall y Delno C. West (Malibú, 1976), págs. 163-176; sobre relojes activados por peso: Dohrn-van Rossum, Hora, págs. 45-48; sobre arquitectura medieval: David Turnbull, Masons, Tricksters and Cartographers. Estudios Comparativos en la Sociología del Conocimiento Científico e Indígena (Singapur, 2000), págs. 53-87.

50 Sobre los comienzos de la estandarización de medidas, consulte: John L. Heilbron, La medida de la Ilustración, en: El Espíritu Cuantificador en el Siglo XVIII, eds. Tore Frängsmyr, J. L. Heilbron y Robin E. Ride (Oxford, 990), págs. 207-243.

51 Sobre la referencia a unidades de medida “naturales” en discusiones acerca de la introducción del sistema métrico: Heilbron, Medida, págs. 218-224.

52 “ab activis ad contemplativa”, Bubnov, Gerberti opera, pág. 371.

53 Bubnov, Gerberti opera, pág. 371 (dos veces), 373, 374.

54 Tina Stiefel, “Hombres impíos”: Intentos en el siglo doce por aplicar la dialéctica al mundo de la naturaleza, en: Ciencia y Tecnología en la Sociedad Medieval, ed. Pamela O. Long (Nueva York, 1985), págs. 187-203.

55 “Conantur tamen artífices horologiorum facere circulum unum qui omnino moveatur secundum motum circuli equinoctialis, sed non possunt omnino complere opus eorum, quod, si possent facere, esset horologium verax valde et valeret plus quam astrolabium quantum ad horas capiendas vel aliud instrumentum astronomiae, si quis hoc sciret facere secundum modum antedictum”. (Lynn Thorndike, La Esfera de Sacrobosco y sus Comentaristas (Chicago, 1949), pág. 180).

56 Theodor Wählin, Relojes de astrolabios y algunos pensamientos acerca de la edad y el desarrollo del astrolabio, en: Los Astrolabios del Mundo, ed. Robert Theodor Gunther (Londres, 1976), págs. 540-559.

* Estudios de Historia Cultural, agradece la amable autorización a la editorial Verlag der Buchhandlung Walter König, Köln, para la publicación de "La Esfera Plana : Wazzalcora" Arianna Borrelli

En De Variantology 2: On Deep Time Relations of Arts, Sciences and Technologies. Ed. Siegfried Zielinski y David Link, con Eckhard Fuerlus y Nadine Minkwitz. 2006. pp. 145-166).

Traducción al español de Luz María Tapia Sánchez





Arrianna Borrelli. Nació en Roma, Italia. Se graduó en Física en la Universidad de Roma. "La Sapienza" 1988. Por algunos años, trabajó como investigadora en el campo teórico de la física de alta energía en Italia, inglaterra y Suiza. En el 2002 estudio filosofía en la Universidad Técnica de Brunswick, Alemania, con la tesis "La Nocion del campo de la Energía; desde Newton hasta Hegel en el siglo XVIII y los primeros años del siglo XIX". En la misma Universidad obtuvo el Doctorado con la tesis "Aspectos sobre el Astrolabio: Architectonica Ratio siglos X y XI". En la actualidad lleva a cabo investigaciones de Posdoctorado en el Instituto Max Planck para Historia de la Ciencia en Berlín, trabajando en un proyecto de investigación basado en el concepto del calor-frio y sus variantes en la filosofía moderna.






 
Inicio | Índice | Librero | | Comentarios | Libros | E-Libros | Eventos | Cursos | Voces |
Directorio